Question

（本题14分）．在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点．

（1）求直线与平面所成的角的正弦值；

（2）求点到平面的距离．

Answer

（1）

（2）距离为

【解析】解法一：，又，则是的中点，故

，，

则，

设D到平面ACM的距离为，由，有，可求得，

设直线与平面所成的角为，则．

（2）可求得PC=6．因为AN⊥NC，由，得PN．

所以．故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的．

又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由⑵可知所求距离为．

解法二：

（1）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，；

设平面的一个法向量，由，

可得：，令，则．

设所求角为，则．

（2）由条件可得， ．在中，，

所以，则，，

所以所求距离等于点到平面距离的，

设点到平面距离为，则，故所求距离为．