Question

（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中,、、分别是、、的中点，是上的点.

（1）求直线与平面所成角的正切值的最大值；

（2）求证：直线平面；

（3）求直线与平面的距离.

(第19题图)

Answer

（1）线PE与平面ABC所成角的最大值为 

（2）略

（3）

【解析】解:（1）PE在平面ABC内的射影为AP，

则∠EPA为PE与平面ABC所成角的平面角，

当点P与D重合时，AP最短，此时：

取直线PE与平面ABC所成角的最大值为      …………（4分）

（2）如图所示，连接DE、CE，∵D、E、F分别是所在棱的中点，

,

又平面EDC//平面

   ………………………………………………………（8分）

（3）解法一  由（2）可知，直线PE与平面的距离等于两平行平面EDC与平面 的距离，即点到平面EDC的距离，亦即A到平面EDC的距离.设A到平面EDC的距离为，又，平面且平面，又,

为直角三角形.

由，得

       ………………………………………… （12分）

解法二  由（1）知，平面EDC//平面,故平面的法向量也为.又E到平面的距离，即为向量在法向量n上的投影的绝对值，

又=