Question

（本小题满分14分）已知椭圆两焦点分别为、,是椭圆在第一象限弧上的一点，并满足,过点作倾斜角互补的两条直线、分别交椭圆于、两点.

（1）求点坐标；

（2）证明：直线的斜率为定值，并求出该定值；

（3）求△面积的最大值.

Answer

（1）点P的坐标为

（2）直线AB斜率为定值，值为.

（3）△PAB面积的最大值为.

【解析】【解析】
（1）由题可得

则

            ①

在曲线上，则   ②

 由①②得，则点P的坐标为 ………（4分）

（2）设直线PA斜率K，则直线PB斜率-K，设，

则直线与椭圆方程联立得：

由韦达定理：

同理求得

综上，直线AB斜率为定值，值为.      …………（9分）

（3）设AB的直线方程：

由  ，得

由

P到AB的距离为,

则

当且仅当时取等号，

△PAB面积的最大值为.    …………（14分）