Question

(13分) （理科）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且以抛物线的准线为双曲线的一条准线．动直线过双曲线的右焦点且与双曲线的右支交于两点．

（1）求双曲线的方程；

（2）无论直线绕点怎样转动，在双曲线上是否总存在定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）

（2）双曲线上存在定点，使恒成立

【解析】（理科）【解析】
（1）设，则由题意有：

   ∴，，

故双曲线的方程为，                         …………… 4分

（2）解法一：由（1）得点为

当直线l的斜率存在时，设直线方程，，

将方程与双曲线方程联立消去得：，

∴    解得                   …………… 6分

 假设双曲线上存在定点，使恒成立，设为

则：

∵，∴，

故得：对任意的恒成立，

∴，解得

∴当点为时，恒成立；                …………… 10分

当直线l的斜率不存在时，由，知点使得也成立．

又因为点是双曲线的左顶点，                     …………… 12分

所以双曲线上存在定点，使恒成立．  …………… 13分

解法二（略解）：当直线l的斜率不存在时，由，，，且点在双曲线上可求得，

当直线l的斜率存在时，将，，代入，经计算发现对任意的恒成立，从而恒有成立．

因而双曲线上存在定点，使恒成立．