Question

(本小题12分) 如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形, PA⊥底面ABCD, PA＝2,

∠PDA=45°, 点E、F分别为棱AB、PD的中点.

（1）求证: AF∥平面PCE;

（2）求证: 平面PCE⊥平面PCD;

（3）求AF与平面PCB所成的角的大小.

Answer

（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）30°

【解析】证明: （1）取PC的中点G，连结FG、EG，

∴FG为△CDP的中位线  ∴FGCD

∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点

∴ABCD     ∴FGAE ∴四边形AEGF是平行四边形 ∴AF∥EG  

又EG平面PCE，AF平面PCE ∴AF∥平面PCE  

     （2）∵ PA⊥底面ABCD

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A

∴CD⊥平面ADP ，又AF平面ADP         ∴CD⊥AF

直角三角形PAD中，∠PDA=45°

∴△PAD为等腰直角三角形   ∴PA＝AD=2 

∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CDPD=D

∴AF⊥平面PCD    ∵AF∥EG ∴EG⊥平面PCD

又EG平面PCE 平面PCE⊥平面PCD

（3）过E作EQ⊥PB于Q点, 连QG, CB⊥面PAB

     ∴QE⊥面PCB, 则∠QGE为所求的角.

   S△PEB=BE·PA=PB·EQEQ=

   在△PEC中, PE＝EC＝, G为PC的中点, ∴EG＝,

在Rt△EGQ中, sin∠EGQ=

   ∴∠EGQ=30°