Question

(本小题13分) 如图所示, PQ为平面的交线, 已知二面角为直二面角,  , ∠BAP＝45°.

（1）证明: BC⊥PQ;

（2）设点C在平面内的射影为点O, 当k取何值时, O在平面ABC内的射影G恰好为△ABC的重心？

（3）当时, 求二面角B－AC－P的大小.

Answer

（1）证明见解析

（2）k＝1

（3）

【解析】（1）在平面内过点C作CE⊥PQ于点E, 由题知点E与点A不重合, 连接EB.

     , 即点C在平面内的射影为点E,

所以.

又.

      , 故  BE⊥PQ, 又

, ,

      平面EBC, 故BC⊥PQ.

（2）由（1）知, O点即为E点, 设点F是O在平面ABC内的射影, 连  接BF并延长交AC于点D, 由题意可知, 若F是△ABC的重心, 则点D为AC的中点.

, 平面角为直二面角, , 由三垂线定理可知AC⊥BF, 即AC⊥BD, , 即k＝1；反之, 当k＝1时, 三棱锥O—ABC为正三棱锥, 此时, 点O在平面ABC内的射影恰好为△ABC的重心.

（3）由（2）知, 可以O为原点, 以OB、OA、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O—xyz(如图所示) 

不妨设, 在Rt△OAB中, ∠ABO＝∠BAO＝45°, 所以BO＝AO＝, 由CA＝CB＝kAB且得, AC＝2, , 则.

所以

设是平面ABC的一个法向量, 由得

取x=1, 得

易知是平面的一个法向量,

设二面角B－AC－P的平面角为, 所以, 由图可知,

二面角B－AC－P的大小为.