Question

（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，

PA⊥平面ABC，,为DB的中点，

（Ⅰ）证明：AE⊥BC；      

（Ⅱ）若点是线段上的动点，设平面与平面所成的平面角大小为，当在内取值时，求直线PF与平面DBC所成的角的范围。

Answer

（Ⅰ）AE⊥BC

（Ⅱ）直线PF与平面DBC所成的角的范围为

【解析】证明：（I）取BC的中点O，连接EO,AO，   EO//DC所以EO⊥BC  

因为为等边三角形，所以BC⊥AO 所以BC⊥面AEO,故BC⊥AE  ………4分

（II）连接PE，因为面BCD⊥面ABC，DC⊥BC，所以DC⊥面ABC，而EODC

所以EOPA，故四边形APEO为矩形 ………………………………………5分

易证PE⊥面BCD,连接EF,则PFE为PF与面DBC所成的角， ………………7分

又PE⊥面BCD，所以，

∴为面与面所成的角，即，……………9分

此时点即在线段上移动，设，则，

，

所以直线PF与平面DBC所成的角的范围为。…………………12分