Question

如图，正四棱柱中，，点在上且．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

                                 

Answer

（Ⅰ）略

（Ⅱ）二面角的大小为

【解析】依题设，，．

（Ⅰ）连结交于点，则．

由三垂线定理知，．························ 1分

在平面内，连结交于点，

由于，

故，，

与互余．

于是．……………………..2分

与平面内两条相交直线都垂直，…………….3分

所以平面．··························· 4分

（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，

故是二面角的平面角．·················· 5分

，

，．…………..6分

，．

又，…………. 7分．

．

所以二面角的大小为．················· 8分

解法二：

以为坐标原点，射线为轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系．

依题设，．

，．·········· 2分

（Ⅰ）因为，，

故，．…………..3分

又，

所以平面．··························· 4分

（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则

，．

故，．

令，则，，．················· 6分

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小为．……….   8分