Question

（本小题满分13分）

设函数，已知是奇函数.

（Ⅰ）求、的值;     （Ⅱ）求的单调区间与极值.

Answer

（Ⅰ）b=3;  c=0

（Ⅱ）函数g(x)的单调递增区间是x∈(-∞,- )和(,+∞)

函数g(x)的单调递减区间是x∈(- ,)

且：当x=-时函数g(x)取得极大值g(-)=4

当x=时函数g(x)取得极小值g()=-4

【解析】(Ⅰ)∵f(x)=x+bx+cx(xR),    ∴f=3x+2bx+c

∴g(x)=x+(b-3)x+(c-2b)x-c;由奇函数定义知:

G(-x)=-x+（b-3）x-(c-2b)x+c=-x-(b-3x)-(c-2b)x+c=-g(x)

∴b-3=-(b-3);  -(c-2b)=-(c-2b);  -c=c

解得：b=3;  c=0

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得:g(x)=x-6x, 令g=3x-6x=0

得:x=±;又由g＞0得：x∈(-∞,- )∪(,+∞)

由g＜0得：x∈(- ,)

∴函数g(x)的单调递增区间是x∈(-∞,- )和(,+∞)

函数g(x)的单调递减区间是x∈(- ,)

且：当x=-时函数g(x)取得极大值g(-)=4

当x=时函数g(x)取得极小值g()=-4