Question

(本小题满分13分)

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF,∠BCF=，AD=，EF=2.

（Ⅰ）求证： AE∥平面DCF；

（Ⅱ）若，且二面角A—EF—C的大小为，求的长。

Answer

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）∵ 四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC  ．  ……    1分

又∵ BE∥CF ， AB∩BE=B，

∴平面ABE∥平面DCF ……   3分

又AE平面ABE，

∴AE∥平面DCF………   5分

（II）过E作GE⊥CF交CF于G，

由已知  EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，

∴EG=AD＝，又EF=2，∴GF=1…6分

∵四边形ABCD是矩形， ∴DC⊥BC ．

∵∠BCF=， ∴FC⊥BC，

又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC，

∴FC⊥平面AC ， ∴FC⊥CD ．                   …………7分

 分别以CB、CD、CF为轴建立空间直角坐标系．

∵BE=1，，∴ A（，，0）,E(，0，1),F(0，0，2)，

∴=(0，- ，1)，=（-,0,1）．   …………8分

设平面AEF的法向量=(x，y，z)，

得，∴ =( ，， )．   ……10分

又=（0，，0）是平面CEF的一个法向量,

 ∴     ,即，得=．

∴当的值为时，二面角A—EF—C的大小为   …13分