Question

（本小题满分12分）设二次函数满足下列条件：

①当∈R时，的最小值为0，且f (－1)=f(－－1)成立；

②当∈(0,5)时，≤≤2+1恒成立。

（1）求的值；    

   （2）求的解析式；

（3）求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当∈时，就有成立。

Answer

（1）f(1)=1

（2）f(x)= (x+1)2

（3）t=-4时,对任意的x∈[1,9]

【解析】【解析】
(2)由①知二次函数的关于直线x=-1对称,且开口向上

故设此二次函数为f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a=

∴f(x)= (x+1)2                                   

 (3)假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.

f(x+t)≤x(x+t+1)2≤xx2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0.

令g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

∴m≤1－t+2≤1－(－4)+2=9

t=-4时,对任意的x∈[1,9]

恒有g(x)≤0, ∴m的最大值为9.