Question

1．    (本小题满分13分)

已知函数的导数．a，b为实数，．

(1)    若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求a、b的值；

(2)    在 (1) 的条件下，求曲线在点P（2，1）处的切线方程；

(3)    设函数，试判断函数的极值点个数．

Answer

（1），（2）（3）2

【解析】(1) 由已知得，， 由，得，．

∵，，

∴ 当时，，递增；

当时，， 递减．

∴ 在区间上的最大值为，∴．

又，，∴ ．

由题意得，即，得． 故，为所求．

(2) 由 (1) 得，，点在曲线上．

当切点为时，切线的斜率，

∴ 的方程为，即．

(3) ．

∴

．  

二次函数的判别式为

，令，

得：令，得 

∵，，

∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；

当时，此时方程有两个不相等的实数根，

根据极值点的定义，可知函数有两个极值点．