Question

设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且．

   （1）求椭圆的离心率；

   （2）若过、、三点的圆恰好与直线

：相切，求椭圆的方程;

   （3）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由．

Answer

（1）

（2）

（3）

【解析】（Ⅰ）【解析】
设Q（x0，0），由（c，0）,A（0，b）

    知

      ，………2分

    由于 即为中点．

    故

    故椭圆的离心率        …………………4分

    （Ⅱ）由⑴知得于是（，0） Q，

    △AQF的外接圆圆心为（-，0），半径r=|FQ|=

    所以，解得=2，∴c =1，b=，

    所求椭圆方程为         …………………8分

    （III）由（Ⅱ）知

    ：

       代入得…………………9分

    设，

    则，     ……………10分

    由于菱形对角线垂直，则      

    故则

    由已知条件知且

                           ………………12分

  故存在满足题意的点P且的取值范围是．…………………13分