Question

（本题满分16分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分6分．

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切。

（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（2）设过点P，且倾斜角为的直线与曲线M相交于A，B两点，A，B在直线上的射影是。求梯形的面积；

（3）若点C是（2）中线段上的动点，当△ABC为直角三角形时，求点C的坐标。

Answer

解: （1）曲线M是以点P为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为.

（2）由题意得，直线AB的方程为 消y得

于是， A点和B点的坐标分别为A，B（3，），

所以，  

（3）设C（－1，y）使△ABC成直角三角形，

  ，

  ，

  .

 (i) 当时，

方法一：当时，，

 即为直角. C点的坐标是

方法二：当时，得直线AC的方程为，

求得C点的坐标是。

(ii) 因为，所以，不可能为直角.

(iii) 当时，

方法一：当时，， 即，解得，此时为直角。

方法二：当时，由几何性质得C点是的中点，即C点的坐标是。

故当△ABC为直角三角形时，点C的坐标是或 

【解析】略