Question

（本小题满分12分）已知四棱锥底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， AD＝2，AB＝1，E．F分别是线段AB．BC的中点，

（1）证明：PF⊥FD；

（2）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；．

（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

Answer

【解析】
（1）证明：连接AF，则AF＝，DF＝，

又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，

∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，

……………4分

（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD．

再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，

∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．

从而满足AG＝AP的点G为所求．………………8分

⑶建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA⊥平面ABCD ，所以是与平面所成的角．

又有已知得，所以，所以

．

设平面的法向量为，由

得，令，解得：．

所以．又因为，所以是平面的法向量，易得，所以．

由图知，所求二面角的余弦值为．……………………12分

【解析】略