Question

（本小题满分12分）

       已知函数f（x）=（x∈R）．

       ⑴当f（1）=1时，求函数f（x）的单调区间；

       ⑵设关于x的方程f（x）=的两个实根为x₁,x₂ ，且-1≤a≤1,求｜x₁-x₂｜的最大值；

       ⑶在（2）的条件下，若对于［-1，1］上的任意实数t，不等式m²+tm+1≥｜x₁-x₂｜恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）f（x）的减区间是（-∞，-2］和［1，+∞），增区间是［-2，1］；（2）3；（3）m≥2或m≤-2

【解析】⑴ 由f（1）=1得a=-1 ，……………………………………………………2分

       f′（x）===≥0……………………4分

       -2≤x≤1，所以f（x）的减区间是（-∞，-2］和［1，+∞），增区间是［-2，1］…5分

       ⑵方程f（x）=可化为x2-ax-2=0，Δ=a2+8 >0

       ∴x2-ax-2=0有两不同的实根x1，x2，

       则x1+x2=a,x1x2=-2…………………………7分

       ∴ ｜x1-x2｜=

       ∵-1≤a≤1 ，∴当a=±1时，

       ∴｜x1-x2｜max==3…………………………8分

       ⑶若不等式m2+tm+1≥｜x1-x2｜恒成立，

       由⑵可得m2+tm+1≥3，对t∈［-1，1］ 都成立m2+tm-2≥0 ，t∈［-1，1］，

       设g（t）=m2+tm-2…………………………………………9分

       若使t ∈［-1，1］时g（t）≥0都成立，

       则…………11分

       解得：m≥2或m≤-2 ，所以m的取值范围是m≥2或m≤-2……………………12分