Question

（本小题满分12分）

已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，分别是， 的中点．

（1）证明：；

（2）证明：平面；

（3）求二面角的余弦值．

Answer

略

【解析】    解法一：

    （Ⅰ）证明：因为平面，

    所以是在平面内的射影，… 2 分

由条件可知，

所以． ………………… 4 分

（Ⅱ）证明：设 的中点为，

连接，．

因为，分别是，的中点，

所以．

又=，，

所以．

所以四边形是平行四边形．

所以．    …………………6 分

因为平面，平面，

所以平面． …………… 8 分

（Ⅲ）如图，设的中点为，连接，

所以．

因为底面，

所以底面．

在平面内，过点做，垂足为．

    连接，则．

所以是二面角的平面角．         ………………… 10 分

因为==2，

由∽，得=．

所以==．

所以==．

    二面角的余弦值是．              ………………… 12 分

解法二：

依条件可知，，两两垂直．

如图，以点为原点建立空间直角坐标系．

     根据条件容易求出如下各点坐标：

，，，

，，，

，．

（Ⅰ）证明：因为，

，

所以．             ………………… 2 分

所以．

即．                                 ………………… 4 分

（Ⅱ）证明：因为，是平面的一个法向量，

且，所以．          ………6 分

又平面，

所以平面．                         ………………… 8 分

（Ⅲ）设是平面的法向量，

因为，，

由得解得平面的一个法向量．

由已知，平面的一个法向量为．    ………………… 10 分

设二面角的大小为，  则==．

    二面角的余弦值是．                  ………………… 12 分