Question

（本小题满分12分）已知函数．

（1）当时，证明函数只有一个零点；

（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围

Answer

(1) 略．

(2)

【解析】【解析】
（Ⅰ）当时，，其定义域是………1分

    ∴                   ………………………2分  

    令，即，解得或．

    ，∴  舍去．                          …………………3分

    当时，；当时，．

    ∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

    ∴ 当x =1时，函数取得最大值，其值为．

    当时，，即．

    ∴ 函数只有一个零点．                      ………………………6分 

（Ⅱ）显然函数的定义域为

    ∴ ……………7分

    ①当时，在区间

    上为增函数，不合题意………9分

    ②当时，等价于，即

    此时的单调递减区间为．

    依题意，得解之得．                     …………………9分

    当时，等价于，即

    此时的单调递减区间为，

    ∴     得            ………………………11分

    综上，实数的取值范围是

              ………………………12分

    法二：

    ①当时，

    在区间上为增函数，不合题意……………7分

    ②当时，要使函数在区间上是减函数，

    只需在区间上恒成立，只要恒成立，

    解得或                  ………………………11分

    综上，实数的取值范围是

             ………………………12分