Question

（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，

    AD＝2，PA＝2，PD＝2，∠PAB＝60°。

（1）证明：AD⊥平面PAB；

（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；

（3）求二面角P－BD－A的大小。

Answer

（1）在△PAD中，PA＝2，AD＝2，PD＝2，可得PA2+AD2＝PD2 故AD⊥PA

又∵AD⊥AB，PA∩AB＝A

∴AD⊥平面PAB

（2）∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角。

在△PAB中，由余弦定理得PB＝＝

∵AD⊥平面PAB，∴BC⊥平面PAB

∴△PBC为直角三角形

故 tan∠PCB＝＝

异面直线ＰＣ与ＡＤ所成的角为arc tan

（3）过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连接PE。

∵AD⊥平面PAB  AD  平面ABCD

∴平面PAB⊥平面ABCD

又 PH⊥AB  则PH⊥平面ABCD

∴HE是PE在平面ABCD内的射影

∵BD⊥HE  ∴BD⊥PE（三垂线定理）

故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角

PH＝PA·sin60°＝，AH＝PA·cos60°＝1

BH＝AB－AH＝2，BD＝＝

由Rt△PEH∽Rt△BAD  得HE＝·BH ＝

在Rt△PHE中，tan∠PEH =  =

所以二面角P－BD－A的大小为arc tan

【解析】略