Question

(本题满分14分)

已知数列{a_n}是首项为a₁＝，公比q＝的等比数列，设b_n＋2＝3loga_n(n∈N^*)，数列{c_n}满足c_n＝a_n·b_n.

(1)求证：{b_n}是等差数列；   (2)求数列{c_n}的前n项和S_n；

Answer

(1)略

(2) cn＝(3n－2)×()n，(n∈N*)，Sn＝－·()n(n∈N*)．

【解析】【解析】
(1)证明：由题意知，an＝()n(n∈N*)．∵bn＝3logan－2，b1＝3loga1－2＝1，∴bn＋1－bn＝

3logan＋1－3logan＝3log＝3logq＝3，∴数列{bn}是首项为b1＝1，公差为d＝3的等差数列．

(2)由(1)知，an＝()n，bn＝3n－2(n∈N*)，∴cn＝(3n－2)×()n，(n∈N*)，

∴Sn＝1×＋4×()2＋7×()3＋…＋(3n－5)×()n－1＋(3n－2)×()n，

于是Sn＝1×()2＋4×()3＋7×()4＋…＋(3n－5)×()n＋(3n－2)×()n＋1，

两式相减得Sn＝＋3[()2＋()3＋…＋()n]－(3n－2)×()n＋1＝－(3n＋2)×()n＋1，

∴Sn＝－·()n(n∈N*)．