Question

本小题满分12分）

已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：

有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．

（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；

       （Ⅱ）Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

w.

Answer

(1) , m＝1

(2) [－12，0]

【解析】．解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，      得．∵m＜3，∴m＝1． 2分

圆C：．设直线PF1的斜率为k，

则PF1：，即．∵直线PF1与圆C相切，

∴．

解得．   ……………… 4分

当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，

∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．            …………………… 5分

2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．

椭圆E的方程为：．              …………………… 7分

(法二)直接设直线的方程为：去求c .

（Ⅱ），设Q（x，y），，

．            …………………… 9分

（法一） 设,则是直线在轴上的截距，所以当

， 取得最大值与最小值，把直线方程代入椭圆方程得：由，

得， 的取值范围是[－6，6]．

∴的取值范围是[－12，0]．    ……… 12分

(法二)∵，即，

而，∴－18≤6xy≤18．                    

则的取值范围是[0，36]．     

的取值范围是[－6，6]．

∴的取值范围是 [－12，0]．  …………………… 12分