Question

（本小题满分14分）

已知函数；．

（1）当时，求函数f（x）在上的值域；

（2）若对任意，总有成立，求实数的取值范围；

（3）若（为常数），且对任意，总有成立，求M的取值范围．

Answer

（1）f（x）在的值域为

（2）实数的取值范围为

（3）当时，M的取值范围是；

当时，M的取值范围是

【解析】【解析】
（1）当时，

-因为f（x）在上递减，-----------------2分

所以，即f（x）在的值域为----------------4分

（法二），

，对称轴，

时为增函数，---------------2分

，f（x）在的值域为------------------4分

   （2）由题意知，在上恒成立。

，    

∴在上恒成立

∴  -----------------------------5分

设，，，由得 t≥1，

设，,

   （可用导数方法证明单调性：）

所以在上递减，在上递增，-------------------------------7分

   在上的最大值为， 

在上的最小值为 

所以实数的取值范围为------------------------------------9分

   （3），

∵ m>0  ，     

∴ 在上递减，--------------------------10分

∴   

即----------------------------------------11分

①当，即时，，

此时  ，-----------------------------------------------------------12分

②当，即时，，

此时  ，---------------------------------------------------------13分

综上所述，当时，M的取值范围是；

当时，M的取值范围是-----------------------------14分