Question

（本小题满分13分）已知函数

（I）若函数在时取到极值，求实数的值；

（II）试讨论函数的单调性；

（III）当时，在曲线上是否存在这样的两点A，B，使得在点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，若存在，试求的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

（I）实数的值－2  

（II）①当时， ，

函数得单调增区间为 ，单调减区间为；

②当时，，

函数得单调增区间为，单调减区间为。 

（III）当时，存在满足要求的点A、B.

【解析】  （ ）                ……………………………1分

（I）∵函数在时取到极值

∴ 解得

经检验函数在时取到极小值（不检验扣1分）

∴实数的值－2                          …………………………3分

（II）由得或            …………………………4分

①当时， 

由得

由得

∴函数得单调增区间为 ，单调减区间为 …………6分

②当时，，同理可得函数得单调增区间为，单调减区间为                                    ………………………………8分

（II）假设存在满足要求的两点A，B，即在点A、B处的切线都与y轴垂直，则即解得或         

∴A,B

又线段AB与x轴有公共点，∴，       …………………………10分

即 又，解得

所以当时，存在满足要求的点A、B.     …………………………13分