Question

设函数是定义在区间上的偶函数,且满足

（1）求函数的周期；

（2）已知当时，.求使方程在上有两个不相等实根的的取值集合M.

(3)记,表示使方程在上有两个不相等实根的的取值集合,求集合.

Answer

（1）是以2为周期的函数；（2）的取值集合为=；

（3）。

【解析】

试题分析：（1）因为

所以，是以2为周期的函数       3分

（2）当时，即

可化为: 且,

平面直角坐标系中表示以（0，1）为圆心，半径为1的半圆    5分

方程 在上有两个不相等实根即为直线与该半圆有两交点

记A(-1,1), B(1,1)，得直线OA、OB斜率分别为-1，1    6分

由图形可知直线的斜率满足且时与该半圆有两交点

故所求的取值集合为=    8分

（3）函数f(x)的周期为2 ,              9分

当时，，

的解析式为：.  即

可化为: 且    12分

平面直角坐标系中表示以（2k，1）为圆心，半径为1的半圆

方程 在上有两个不相等实根即为直线与该半圆有两交点

记，得直线的斜率为    13分

由图形可知直线的斜率满足时与该半圆有两交点

故所求的取值集合为         14分

考点：本题主要考查函数的奇偶性、周期性，集合的概念，直线与圆的位置关系。