已知m是非零实数，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F在直线上．（I）若m...

已知m是非零实数，抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F在直线 manfen5.com 满分网

上．
（I）若m=2，求抛物线C的方程
（II）设直线l与抛物线C交于A、B，△AA₂F，△BB₁F的重心分别为G，H，求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外．

（1）根据焦点F（，0）在直线l上，将F代入可得到ρ=m2，再由m=2可确定p的值，进而得到答案．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），然后联立消去x表示出两根之和、两根之积，然后设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，根据重心的定义可得到关系2，进而得到G（），H（），和GH的中点坐标M，再由可得到关于m的关系式，然后表示出|MN|整理即可得证．【解析】（1）因为焦点F（，0）在直线l上，得p=m2 又m=2，故p=4 所以抛物线C的方程为y2=8x （2）证明设A（x1，y1），B（x2，y2）由消去x得 y2-2m3y-m4=0，由于m≠0，故△=4m6+4m4＞0，且有y1+y2=2m3，y1y2=-m4，设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，由于2，可知G（），H（），所以，，所以GH的中点M．设R是以线段GH为直径的圆的半径，则设抛物线的标准线与x轴交点N，则 =m4（m4+8m2+4） =m4[（m2+1）（m2+4）+3m2] ＞m2（m2+1）（m2+4）=R2．故N在以线段GH为直径的圆外．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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