Question

已知双曲线的左、右顶点分别为A₁，A₂，点P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是双曲线上不同的两个动点．
（1）求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程；
（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l₁和l₂与轨迹E都只有一个交点，且l₁⊥l₂，求h的值．

Answer

（1）先确定直线A1P与A2Q的方程；再联立方程组解之（相乘处理）；最后利用点P（x1，y1）在双曲线上，消去参数x1、y1（整体消元）求出轨迹E的方程；
（2）先由l1⊥l2设出两直线方程；再分别与椭圆方程联立，根据只有一个交点（即△=0）得出k、h的两个方程；最后解出h的值．
【解析】
（1）由A1，A2为双曲线的左右顶点知，，
则，，
两式相乘得，
因为点P（x1，y1）在双曲线上，所以，即，
所以，即，
故直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为．（x≠，x≠0）
（2）设l1：y=kx+h（k＞0），则由l1⊥l2知，．
将l1：y=kx+h代入得，
即（1+2k2）x2+4khx+2h2-2=0，
若l1与椭圆相切，则△=16k2h2-4（1+2k2）（2h2-2）=0，即1+2k2=h2；
同理若l2与椭圆相切，则．
由l1与l2与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况：
[1]直线l1与l2都与椭圆相切，即1+2k2=h2，且，消去h2得，即k2=1，
从而h2=1+2k2=3，即；
[2]直线l1过点，而l2与椭圆相切，此时，，解得；
[3]直线l2过点，而l1与椭圆相切，此时，1+2k2=h2，解得；
[4]直线l1过点，而直线l2过点，此时，，∴．
综上所述，h的值为．