Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A，B）为ρ（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|
对于平面xOy上给定的不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）若点C（x，y）是平面xOy上的点，试证明ρ（A，C）+ρ（C，B）≥ρ（A，B）；
（2）在平面xOy上是否存在点C（x，y），同时满足
①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）②ρ（A，C）=ρ（C，B）若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明．

Answer

（1）应用绝对值不等式的性质|a|+|b|≥|a+b|
（2）假设符合条件的点存在，检验条件①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）与②ρ（A，C）=ρ（C，B）同时成立时，x，y的值是否存在．
（1）证明：由绝对值不等式知，
ρ（A，C）+ρ（C，B）=|x-x1|+|x2-x|+|y-y1|+|y2-y
≥|（x-x1）+（x2-x）|+|（y-y1）+（y2-y）|
=|x2-x1|+|y2-y1|
=ρ（A，B）
当且仅当（x-x1）•（x2-x）≥0，且（y-y1）•（y2-y）≥0时等号成立．
（2）【解析】
由ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）得
（x-x1）•（x2-x）≥0且（y-y1）•（y2-y）≥0  （Ⅰ）
由ρ（A，C）=ρ（C，B）得|x-x1|+|y-y1|=|x2-x|+|y2-y|（Ⅱ）
因为A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，则：1°若x1=x2且y1≠y2，
不妨设y1＜y2，由（Ⅰ）得x=x1=x2，且y1≤y≤y2，
由（Ⅱ）得，
此时，点C是线段AB的中点，即只有点满足条件；
2°若x1≠x2且y1=y2，
同理可得：只有AB的中点满足条件；
3°若x1≠x2且y1≠y2，不妨设x1＜x2且y1＜y2，
由（Ⅰ）得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2，
由（Ⅱ）得，
此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点，
斜率为-1的直线夹在矩形AA1BB1之间的部分，
其中A（x1，y1），A1（x2，y1），B（x2，y2），B1（x1，y2）．