Question

一元三次函数f（x）的三次项系数为，f′（x）+9x＜0的解集为（1，2），
（1）若f′（x）+7a=0，求f′（x）的解析式；
（2）若f（x）在R上单调增，求a的范围．

Answer

（1）先根据一元三次函数f（x）的三次项系数为假设出解析式，然后对函数f（x）进行求导，根据f’（x）+9a＜0的解集为（1，2）可用a表示出b，c的关系式，最后由f′（x）+7a=0求出a的范围，进而得到函数f′（x）的解析式．
（2）由f（x）在R上单调增，根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系可判断f'（x）≥0在R上恒成立，进而求出a的范围．
解【解析】
∵一元三次函数f（x）的三次项系数为，
设f（x）=x3+bx2+cx+d，∴f'（x）=ax2+2bx+c
∵f′（x）+9x=ax2+2bx+c+9x＜0的解集为（1，2），
∴f′（x）+9x=ax2+2bx+c+9x=a（x-1）（x-2）＜0
b=-，c=2a（a＞0）
（1）由上f'（x）+7a=ax2-（9+3a）x+9a=0成立
∴△=（9+3a）2-36a2≥0
∴-1≤a≤3又因为a＞0∴0＜a≤3
∴f′（x）=ax2-（9+3a）x+2a（0＜a≤3）
（2）∵f（x）在R上单调增，
∴f'（x）=ax2-（9+3a）x+2a≥0在R上恒成立
∴△=（9+3a）2-8a2=a2+54a+81≤0
∴
又因为a＞0∴0＜