Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x
（1）求f（x）的单调区间；
（2）记f（x）在区间[0，π]（n∈N^*）上的最小值为bx令an=ln（l+n）-bx
（i）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；
（ii）求证：．

Answer

（1）先求函数f（x）的导数，再根据导函数的正负和原函数的关系可得答案．
（2）（i）先求出bn的值然后代入到an=ln（l+n）-bn放缩可得答案．
（ii）根据（i）知．，然后用数学归纳法证明即可．
【解析】
（I）因为f（x）=ln（1+x）-x，所以函数定义域为（-1，+∞），且f′（x）=-1=．
由f′（x）＞0得-1＜x＜0，f（x）的单调递增区间为（-1，0）；
由f’（x）＜0得x＞0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．
（II）因为f（x）在[0，n]上是减函数，所以bn=f（n）=ln（1+n）-n，
则an=ln（1+n）-bn=ln（1+n）-ln（1+n）+n=n．
（i）
＞．
又lim，
因此c＜1，即实数c的取值范围是（-∞，1）．
（Ⅱ）因为f（x）在[0，n]上是减函数，所以bn=f（n）=ln（1+n）-n，
则an=ln（1+n）-bn=ln（1+n）-ln（1+n）+n=n．
（i）因为对n∈N*恒成立．所以对n∈N*恒成立．
则对n∈N*恒成立．
设，n∈N*，则c＜g（n）对n∈N*恒成立．
考虑．
因为=0，
所以g（x）在[1，+∞）内是减函数；则当n∈N*时，g（n）随n的增大而减小，
又因为=1．
所以对一切n∈N，g（n）＞1因此c≤1，即实数c的取值范围是（-∞，1]．
（ⅱ）由（ⅰ）知．
下面用数学归纳法证明不等式（n∈N+）
①当n=1时，左边=，右边=，左边＜右边．不等式成立．
②假设当n=k时，不等式成立．即．
当n=k+1时，

=，
即n=k+1时，不等式成立
综合①、②得，不等式成立．
所以．
即．