Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=1，∠ABC=90°；点D、E分别在BB₁，A₁D上，且B₁E⊥A₁D，四棱锥C-ABDA₁与直三棱柱的体积之比为3：5．
（1）求异面直线DE与B₁C₁的距离；
（2）若BC=，求二面角A₁-DC₁-B₁的平面角的正切值．

Answer

（1）因B1C1⊥A1B1，且B1C1⊥BB1，进而可推断B1C1⊥面A1ABB1，进而推断B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线，设BD的长度为x，则四棱椎C-ABDA1的体积V1为，里用体积公式表示出V1，表示出四棱椎C-ABDA1的体积V1，同时直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V2，根据V1：V2=3：5求得x，从而求得B1D，直角三角形A1B1D中利用勾股定理求得A1D进而利用三角形面积公式求得B1E．
（2）过B1作B1F⊥C1D，垂足为F，连接A1F，因A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1D，故A1B1⊥面B1DC1．由三垂线定理知C1D⊥A1F，故∠A1FB1为所求二面角的平面角，先利用勾股定理求得C11D，进而求得BF，进而可求tan求得∠A1FB1．
【解析】
（Ⅰ）因B1C1⊥A1B1，且B1C1⊥BB1，故B1C1⊥面A1ABB1，
从而B1C1⊥B1E，又B1E⊥DE，故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线
设BD的长度为x，则四棱椎C-ABDA1的体积V1为
而直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V2为
由已知条件V1：V2=3：5，故，解之得
从而
在直角三角形A1B1D中，，
又因，
故
（Ⅱ）如图1，过B1作B1F⊥C1D，垂足为F，连接A1F，因A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1D，故A1B1⊥面B1DC1．
由三垂线定理知C1D⊥A1F，故∠A1FB1为所求二面角的平面角
在直角△C1B1D中，，
又因，
故，所以．