Question

如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点P₁，P₂，P₃，使∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，
证明：++为定值，并求此定值．

Answer

（I）设椭圆方程为，由题意知a=6，，故所求椭圆方程为．
（II）记椭圆的右顶点为A，并设∠AFPi=αi（i=1，2，3），假设，且，
又设点Pi在l上的射影为Qi，因椭圆的离心率，从而有|FPi|=|PiQi|•e==（i=1，2，3）．由此入手能够推导出++为定值，并能求出此定值．
【解析】
（I）设椭圆方程为
因焦点为F（3，0），故半焦距c=3
又右准线l的方程为，从而由已知，
因此a=6，
故所求椭圆方程为
（II）记椭圆的右顶点为A，并设∠AFPi=αi（i=1，2，3），不失一般性，
假设，且，
又设点Pi在l上的射影为Qi，因椭圆的离心率，从而有|FPi|=|PiQi|•e==（i=1，2，3）
解得=（i=1，2，3）
因此++=，
而=，
故++为定值．