Question

已知正方形ABCD．E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为θ（0＜θ＜π）．
（I）证明BF∥平面ADE；
（II）若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．

Answer

（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ADE内找到与直线BF平行的直线就可以了，易证四边形EBFD为平行四边形；
（2）判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，可以从两种角度去思考：
方法一：过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G，然后证明射影G在直线EF上．
方法二：连接AF，在平面AEF内过点作AG′⊥EF，垂足为G′．然后再证明AG′⊥平面BCDE，即G′为A在平面BCDE内的射影G．
二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由前面“判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上”可知：AG⊥平面BCDE，所以过G作GH垂直于ED于H，连接AH，则AH⊥DE，所以∠AHD为二面角A-DE-C的平面角．即∠AHD=θ
【解析】
（I）证明：EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点，
∵EB∥FD，且EB=FD，
∴四边形EBFD为平行四边形．
∴BF∥ED
∵EF⊂平面AED，而BF⊄平面AED
∴BF∥平面ADE．

（II）解法1：
如右图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G，连接GC，GD．
∵△ACD为正三角形，
∴AC=AD
∴CG=GD
∵G在CD的垂直平分线上，
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过G作GH垂直于ED于H，连接AH，则AH⊥DE，
所以∠AHD为二面角A-DE-C的平面角．即∠AHD=θ
设原正方体的边长为2a，连接AF
在折后图的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，
即△AEF为直角三角形，AG*EF=AE*AF
∴AG=
在Rt△ADE中，AH*DE=AE*AD
∴AH=
∴GH=
cosθ==．

解法2：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连接AF，在平面AEF内过点作AG′⊥EF，垂足为G′．
∵△ACD为正三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD
又因EF⊥CD，
所以CD⊥平面AEF
∴CD⊂平面BCDE
∴平面AEF⊥平面BCDE
又∵平面AEF∩平面BCDE=EF，AG′⊥EF
∴AG′⊥平面BCDE
∴G′为A在平面BCDE内的射影G．
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H，连接AH，则AH⊥DE，
所以∠AHD为二面角A-DE-C的平面角．即∠AHD=θ
设原正方体的边长为2a，连接AF
在折后图的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，
即△AEF为直角三角形，AG*EF=AE*AF
∴AG=
在Rt△ADE中，AH*DE=AE*AD
∴AH=
∴GH=
cosθ==．