Question

（1）某工厂准备在仓库的一侧建立一个矩形储料场（如图1），现有50米长的铁丝网，如果用它来围成这个储料场，那么长和宽各是多少时，这个储料场的面积最大？并求出这个最大的面积．
（2）如图2，已知AB、DE是圆O的直径，AC是弦，AC∥DE，求证CE=EB．
（3）如图3所示的棱长为a的正方体中：①求CD₁和AB所成的角的度数；②求∠B₁BD₁的正弦值．

Answer

（1）由图可知储料场是个矩形，设出其长为x宽为y，根据条件2x+y=50，用y表示出x，然后用配方法求出其最大值；
（2）根据中位线定理可得EB=CB，然后再结合条件CB=CE+EB，进行证明；
（3）①CD1和AB所成的角等于∠D1CD，是个等腰三角形进而求解；②利用正弦三角函数的定义和性质进行求解．
（1）【解析】
设矩形储料场的长为x宽为y，则因其一面靠墙，所以应有2x+y=50，即y=50-2x，设储料场的面积为S，
则S=xy=x（50-2x）
=-2x2+50x
=-2（x-12.5）2+312.5
∴当x=12.5时，储料场的面积最，S=312.5米2此时y=25米．

（2）【解析】
证：∵AC∥DE，∴∠1=∠2．
∴EB=CB，CB=2EB
但CB=CE+EB，
∴2EB=CE+EB，CE=EB，CE=EB．

（3）【解析】
①CD1和AB所成的角等于∠D1CD，
∵△D1CD是等腰三角形，∴∠D1CD=45°．
②∵D1B1=a，D1B=a，
∴．