Question

已知曲线y=x²-2x+3与直线y=x+3相交于点P（0，3）、Q（3，6）两点．
（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率；
（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积．

Answer

（1）函数y=f（x）在某点的导数值即为在该点的斜率，所以只要求出该点的导数值即可．
（2）求图形的面积，根据图形只要求出梯形OAQP的面积与曲边梯形OAQP的面积，求曲边梯形OAQP的面积，用定积分求，再求它们之差即可．
【解析】
（1）∵y=x2-2x+3，
∴y′=2x-2，
∴过点（0，3）的切线斜率
k1=y′|x=0=-2．
过点（3，6）的切线斜率
k1=y′|x=3=4．

（2）设所求的带阴影的图形的面积为S，则S为梯形OAQP的面积与曲边梯形OAQP的面积的差．
而梯形OAQP的面积=．
曲边梯形OAQP的面积=
∴．

答：（1）过点（0，3）的切线斜率为-2．过点（3，6）的切线斜率为4．
（2）曲线与直线所围成的图形的面积为4.5．