Question

已知函数y=x²+（2m+1）x+m²-1（m为实数）
（1）m是什么数值时，y的极值是0？
（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L₁上．

Answer

（1）二次函数研究极值问题，可利用配方法研究极值，根据y的极值是0建立等量关系．
（2）先求出函数图象抛物线的顶点坐标，根据点的横坐标与纵坐标消取参数m即可得顶点轨迹，再进一步验证即可．
【解析】
（1）用配方法得：∴的极小值为．所以当极值为0时，
（2）函数图象抛物线的顶点坐标为
即，
二式相减得：，此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线，方程中不含m，因此，不论m是什么值，抛物线的顶点都在这条直线上．