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如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=D...

如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC=1,E、F分别是AB、PB的中点.
(Ⅰ)求证:EF⊥CD;
(Ⅱ)求二面角F-DE-B的大小;
(Ⅲ)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.

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(1)(3)中证明线线垂直及线面垂直,可以综合线线、线面、面面垂直的性质及判定定理进行解答,也可利用三垂线定理进行解答 (2)求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.再利用解三角形的办法求解,对于本题,也可以建立空间坐标系,利用空间向量进行求解和证明. 解法一: 证明:(Ⅰ)∵E、F分别是AB、PB的中点, ∴EF∥PA. ∵ABCD是正方形, ∴AD⊥CD. 又PD⊥底面ABCD, ∴AD是斜线PA在平面ABCD内的射影. ∴PA⊥CD. ∴EF⊥CD (Ⅱ)连接AC交BD于O,过O作OK⊥DE于K,连接OF、FK. ∵O,F分别为BD,PB中点, ∴OF∥PD. ∵PD⊥底面ABCD, ∴OF⊥底面ABCD. ∴OK是斜线FK在平面ABCD内的射影. ∴FK⊥DE. ∴∠FKO是二面角F-DE-B的平面角 经计算得:,. ∴. 即二面角F-DE-B的大小为 (Ⅲ)取PC的中点H,连接DH. ∵PD=DC, ∴DH⊥PC. 又易证BC⊥平面PDC, ∴DH⊥BC. 又PC∩BC=C, ∴DH⊥平面PBC 取AD中点G,连接GF、FH. ∴FH∥BC∥DG,且FH=DG. ∴四边形DGFH为平行四边形. ∴DH∥GF. ∴GF⊥平面PCB. 即当G是AD的中点时,GF⊥平面PCB 解法二: 以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图), 则D(0,0,0)、A(1,0,0)、B(1,1,0)、C(0,1,0)、、、P(0,0,1). (Ⅰ)∵,, ∴. ∴EF⊥CD (Ⅱ)∵PD⊥底面ABCD, ∴平面BDE的法向量为 设平面DEF的法向量为 由得即 令x=1,则y=-2,z=1. ∴ ∴. 即二面角F-DE-B的大小为 (Ⅲ)设G(m,0,n),则G∈平面PAD. ∴. 由,得.由,得n=0. ∴G点坐标为,即G为AD中点时,GF⊥平面PCB
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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