Question

如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x₁，x₂∈D，x₁≠x₂，都有，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）对于（I）中的函数f（x）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x（a，b）使得=f′（x）”成立．利用这个性质证明x唯一；
（Ⅲ）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．

Answer

（I）由凹函数的定义，研究即可；（II）由=f′（x）即证明f（x）是[a，b]上的单调增函数；（III）由A、B、C是函数f（x）图象上三个不同的点，联系到点的坐标，要证明△ABC是钝角三角形，可用向量法．
【解析】
（I）函数f（x）是凹函数，证明如下：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则
=
=
=
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴∴f（x）是凹函数（5分）

证明：（II）假设x′，x∈（a，b），且x′≠x，
使得f（b）-f（a）=（b-a）f′（x），
①f（b）-f（a）=（b-a）f′（x′），②
①-②得，（b-a）f′（x）=（b-a）f′（x′），
∵b＞a，∴b-a≠0∴f′（x）=f′（x′）
∵
∴∴f′（x）是[a，b]上的单调增函数
∴x=x′，这与x′≠x矛盾，即x是唯一的．（10分）

证明：（III）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（（x3，y3），
且x1＜x2＜x3，∵
∴f（x）是x∈R上的单调减函数∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3）
∴
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0
∴ 
故△ABC为钝角三角形．（14分）