Question

已知点P是双曲线上除顶点外的任意一点，F₁、F₂分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF₁F₂的内切圆与F₁F₂切于点M，则|F₁M|•|F₂M|=    ．

Answer

根据图象和圆切线长定理可知：|F1M|=|F1S|，|F2M|=|F2T|，|PS|=|PT|后根据双曲线的定义分P在图象的右支和左支可得
|F1M|-|F2M|=±2a，与|F1M|+|MF2|=|F1F2|=2c联立即可求出|F1M|和|MF2|，|F1M|与|F2M|的积再根据双曲线的基本性质c2-a2=b2化简得到值．
【解析】
根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等可知：|F1M|=|F1S|，|F2M|=|F2T|，|PS|=|PT|
①当P在双曲线图象的右支时，而根据双曲线的定义可知
|F1M|-|F2M|=|F1P|-|F2P|=2a①；
而|F1M|+|MF2|=|F1F2|=2c②，
联立①②解得：|F1M|=a+c，|F2M|=c-a，所以|F1M|•|F2M|=（a+c）（c-a）=c2-a2=b2；
②当P在双曲线图象的左支时，而根据双曲线的定义可知
|F2M|-|F1M|=|F2P|-|F1P|=2a③；
而|F1M|+|MF2|=|F1F2|=2c④，
联立③④解得：|F2M|=a+c，|F1M|=c-a，|F1M|•|F2M|=（a+c）（c-a）=c2-a2=b2．
综上，可得|F1M|•|F2M|=b2．
故答案为：b2