Question

如图，ABCD是一块边长为2a的正方形铁板，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿虚线折叠后，焊接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度x与底面边长的比不超过常数k（k＞0）．
（1）写出水箱的容积V与水箱高度x的函数表达式，并求其定义域；
（2）当水箱高度x为何值时，水箱的容积V最大，并求出其最大值．

Answer

（1）由图形据体积公式得出体积关于高x的函数，再由题意中的限制条件得出定义域．
（2）宜用导数法求最值，先求导，解相关的不等式，列表，得出单调性求出最值．
【解析】
（Ⅰ）由水箱的底面边长为2a-2x，高为x，得V=（2a-2x）2•x=4x•（a-x）2，
∵∴
又，，
∴故定义域为{x|}．（5分）

（Ⅱ）∵V=4x•（a-x）2=4x3-8ax2+4a2x，
∴V′=12x2-16ax+4a2，
令V′=0，得，或x=a（舍）
若，即时，

∴当时，V取得最大值，且最大值为．
若，即时，V′（x）=12x2-16ax+4a2＞0，
∴V在上是增函数，
∴当时，V取得最大值，且最大值为．
综上可知，当时，，水箱容积V取最大值；
当时，，水箱容积V取最大值．（13分）