Question

已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA₁的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设A₁E=m，AF=n．求证：EF=．

Answer

由题意作辅助面，作出两条异面直线a、b所成的角，再由垂直关系通过作辅助线把EF放在直角三角形中求解．
【解析】
设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA1的平面为β，α∩β=c，则c∥a．
因而b，c所成的角等于θ，且AA1⊥c．
∵AA1⊥b，∴AA1⊥α．
根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．
在平面β内作EG⊥c，垂足为G，则EG=AA1．
根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连接FG，则EG⊥FG．
在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2．
∵AG=m，∴在△AFG中，FG2=m2+n2-2mncosθ．
∵EG2=d2，∴EF2=d2+m2+n2-2mncosθ．
如果点F（或E）在点A（或A1）的另一侧，则
EF2=d2+m2+n2+2mncosθ．
因此，EF=．