Question

在△ABC中，若sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB．
（1）求∠C的度数；
（2）在△ABC中，若角C所对的边c=1，试求内切圆半径r的取值范围．

Answer

（1）利用和差化积和积化和差公式化简sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB，解方程可求∠C的度数；
（2）由（1）知△ABC是直角三角形，可以表示出a、b，求内切圆半径r的表达式，然后求其取值范围．
【解析】
（1）∵sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB，
∴2sinCcos•cos=2sin•cos．
在△ABC中，-＜＜．
∴cos≠0．∴2sincos2=sin，
cos=．
∵0＜C＜π，∴∠C=．
（2）设Rt△ABC中，角A和角B的对边分别是a、b，则有a=sinA，b=cosA．
∴△ABC的内切圆半径
r=（a+b-c）=（sinA+cosA-1）
=sin（A+）-≤．
∴△ABC内切圆半径r的取值范围是0＜r≤．