Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ca_n+cⁿ⁺¹（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若对一切k∈N*有a_2k＞a_zk-1，求c的取值范围．

Answer

（1）根据a1，a2和a3猜测an=（n2-1）cn+cn-1，进而用数学归纳法证明．
（2）把（1）中求得的an代入a2k＞azk-1，整理得（4k2-1）c2-（4k2-4k-1）c-1＞0，分别表示ck和又ck'，根据ck＜＜1求得c≥1，再根据ck'＜0，判断出单调递增知ck'≥c1'求得＜-，最后综合答案可得．
【解析】
（1）由a1=1，a2=ca1+c23=（22-1）c2+c
a3=ca2+c3•5=（32-1）c3+c2，
猜测an=（n2-1）cn+cn-1，
下面用数学归纳法证明，
当n=1是，等式成立
假设当n=k，等式成立即ak=（k2-1）ck+ck-1，
则当n=k+1时ak+1=cak+ck+1（2k+1）=（k2+2k）ck+1+ck=[（k+1）2-1]ck+1+ck，
综上an=（n2-1）cn+cn-1，对任意n∈N都成立．
（2）由a2k＞azk-1得
[（2k）2-1]c2k+c2k-1＞[（2k-1）2-1]c2k-1+c2k-2，
因c2k-2＞0，所以（4k2-1）c2-（4k2-4k-1）c-1＞0
解此不等式得c＞ck，或c＜ck'，其中
ck=
ck'=
易知ck=1
又由＜=4k2+1，知
ck＜＜1
因此由c＞ck对一切k∈N成立得c≥1
又ck'=＜0，可知
单调递增，故ck'≥c1'对一切k∈N*成立，因此由c＜ck'对一切k∈N*成立得c＜-
从而c的取值范围是（-∞，-）∪[1，+∞]