Question

若定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上的图象如图所示，则不等式f（x）f′（x）＞0的解集是（ ）
A．（-∞，-1）∪（0，1）
B．（-1，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪（1，+∞）
D．（-1，0）∪（0，1）

Answer

本题考查的知识点是函数奇偶性及单调性，由f（x）为偶函数，我们可以根据偶函数的性质--偶函数的图象关于Y轴对称，判断出函数图象在Y轴左侧的情况，然后结合导数的意义，不难求出等式f（x）f′（x）＞0的解集．
【解析】
由图可知：
f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
则在区间（0，+∞）上f'（x）＞0．
又由f（x）为偶函数．
则f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，
则在区间（-∞，0）上f'（x）＜0．
由f（-1）=f（1）=0可得
在区间（-∞，-1）上f'（x）＜0，f（x）＞0．
在区间（-1，0）上f'（x）＜0，f（x）＜0．
在区间（0，1）上f'（x）＞0，f（x）＜0．
在区间（1，+∞）上f'（x）＞0，f（x）＞0．
故不等式f（x）f′（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）
故选B