Question

已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上，且（t是不为0的常数），设点P的轨迹方程为C．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，试求实数t的取值范围；
（Ⅲ）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为，求△QMN的面积S的最大值．

Answer

（Ⅰ）设点A（a，0），B（0，b），C（x，y），由题意知所以．再由|AB|=2，能够推出点P的轨迹方程．
（Ⅱ）由题意知，，解可得答案；
（Ⅲ）当t=2时，曲线C的方程为，设M（x1，y1），N（-x1，-y1），则．设直线MN的方程为，所以点Q到直线MN的距离，由此可求出△QMN的面积S的最大值．
【解析】
（Ⅰ）设点A（a，0），B（0，b），C（x，y），
∵，即（x-a，y）=t（-x，b-y），即（2分）
则．
又∵|AB|=2，即a2+b2=4．
∴．
∴点P的轨迹方程C：．（5分）
（Ⅱ）∵曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
∴，得t2＜1．
又∵t＞0，∴0＜t＜1．（8分）
（Ⅲ）当t=2时，曲线C的方程为．（9分）
设M（x1，y1），N（-x1，-y1），则．
当x1≠0时，设直线MN的方程为，
则点Q到直线MN的距离，
∴△QMN的面积．（11分）
∴．
又∵，
∴．
∴S2=4-9x1y1．
而，
则-9x1y1≤4．即．
当且仅当时，
即时，“=”成立．
当x1=0时，，
∴△QMN的面积．
∴S有最大值．（14分）