Question

已知曲线C上任一点P到直线x=1与点F（-1，0）的距离相等．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线y=x+b与曲线C交于点A，B，问在直线l：y=2上是否存在与b无关的定点M，使得直线MB与MA关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线的定义可知点F（-1，0）为抛物线的焦点，x=1为其准线，设出抛物线的方程，根据焦点坐标求得p，则抛物线方程可得．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），假设存在点M（a，2）满足条件，根据题意可推断出kAM+kBM=0，把A，B坐标代入，同时根据抛物线方程可知x1和y1，x2和y2的关系，把直线与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出y1+y2和y1y2，代入方程③中，求得a的值，推断出出存在点M（-1，2）满足题意．
【解析】
（1）依题意，曲线C为抛物线，且点F（-1，0）为抛物线的焦点，x=1为其准线，
则抛物线形式为y2=-2px，由，得p=2，
则曲线C的方程为y2=-4x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），假设存在点M（a，2）满足条件，则kAM+kBM=0
即，即x2y1+x1y2-2（x1+x2）-a（y1+y2）=0①
而，，②
整理得y1y2（y1+y2）+4a（y1+y2）-2（y12+y22）-16a=0，
即为：y1y2（y1+y2）+4a（y1+y2）-2[（y1+y2）2-2y1y2]-16a=0，③
由得：y2+4y-4b=0，
则y1+y2=-4，y1y2=-4b，④
将④代入③得：-4b×（-4）+4a×（-4）-2[（-4）2+8b]-16a=0，即a=-1．
因此，存在点M（-1，2）满足题意．