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已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于...

已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=(3,-1)共线.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且manfen5.com 满分网,证明λ22为定值.
(Ⅰ)直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系,据向量共线的条件得椭圆中a,b,c的关系,从而求得椭圆的离心率 (Ⅱ)用向量运算将λμ用坐标表示,再用坐标的关系求出λ2+μ2的值. 【解析】 (1)设椭圆方程为 则直线AB的方程为y=x-c,代入, 化简得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0. 令A(x1,y1),B(x2,y2), 则. ∵与共线, ∴3(y1+y2)+(x1+x2)=0,又y1=x1-c,y2=x2-c, ∴3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0, ∴. 即, 所以a2=3b2. ∴, 故离心率. (II)证明:由(1)知a2=3b2, 所以椭圆可化为x2+3y2=3b2. 设M(x,y), 由已知得(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2), ∴ ∵M(x,y)在椭圆上, ∴(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2. 即λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2.① 由(1)知. ∴, ∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2==0. 又x12+3y12=3b2,x22+3y22=3b2, 代入①得λ2+μ2=1. 故λ2+μ2为定值,定值为1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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