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甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车...

甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比、比例系数为b;固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
(1)全程运输成本有两部分组成,将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,由题设条件速度不得超过c千米/时.故定义域为v∈(0,c]. (2)由(1)知,全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形,由于等号成立的条件有可能不成立,故求最值的方法不确定,对对速度的范围进行分类讨论,如等号成立时速度值不超过c,则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值,若等号成立时速度值大于最高限速v,可以判断出函数在(0,c]上的单调性,用单调性求出全程运输成本的最小值. 【解析】 (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为 故所求函数及其定义域为 (2)依题意知S,a,b,v都为正数,故有 当且仅当,.即时上式中等号成立 若,则当时,全程运输成本y最小, 若,即a>bc2,则当v∈(0,c]时,有= = 因为c-v≥0,且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0, 所以,且仅当v=c时等号成立, 也即当v=c时,全程运输成本y最小. 综上知,为使全程运输成本y最小,当时行驶速度应为;当时行驶速度应为v=c.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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