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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点. (...

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.
(1)、证明AD⊥D1F;
(2)、求AE与D1F所成的角.

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(1)证明线线垂直可先证线面垂直,欲证AD⊥D1F,可先证AD⊥面DC1,即可证得; (2)先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点,取AB的中点G,将D1F平移到A1G,AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角,利用三角形全等求出此角即可. 【解析】 (Ⅰ)∵AC1是正方体, ∴AD⊥面DC1. 又D1F⊂面DC1, ∴AD⊥D1F. (Ⅱ)取AB中点G,连接A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F. 设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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