Question

已知过原点O的一条直线与函数y=log₈x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log₂x的图象交于C、D两点．
（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上；
（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标．

Answer

（1）设出A、B的坐标，解出C、D的坐标，求出OC、OD的斜率相等则三点共线．
（2）BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合（1）即可求出A的坐标．
【解析】
（Ⅰ）设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1＞1，x2＞1．则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2．
因为A、B在过点O的直线上，所以，
点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．
由于log2x1==3log8x1，
log2x2==3log8x2
OC的斜率，
OD的斜率．
由此可知，k1=k2，
即O、C、D在同一条直线上．
（Ⅱ）由于BC平行于x轴知
log2x1=log8x2，
即得log2x1=log2x2，
∴x2=x13．
代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1．
由于x1＞1知log8x1≠0，
∴x13=3x1．
考虑x1＞1解得x1=．
于是点A的坐标为（，log8）．