Question

过椭圆的右焦点F作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆交于A、B两点，且坐标原点O到直线l的距离d满足：
（I）证明点A和点B分别在第一、三象限；
（II）若的取值范围．

Answer

（I）设直线方程为y=k（x-2），由及k＞0，可知设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B坐标是方程组的解，
消去y得（1+3k2）x2-12k2x+12k2-6=0，再由根与系数的关系可以判断出A、B分别在第一、三象限．
（II）由，能够推导出k的取值范围．
【解析】
（I）由已知，，直线方程为y=k（x-2），由及k＞0，得，解这个不等式，得
设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B坐标是方程组的解，
消去y得（1+3k2）x2-12k2x+12k2-6=0，则，
y1y2=k（x1-2）•k（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]
=，
∵，
不妨设x1＜0，则x2＞0，此时y1=k（x1-2）＜0，于是y2＞0，
A、B分别在第一、三象限．
（II）由，
注意到所以k的取值范围是